ESTADISTICA

NOCIONES GENERALES

La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

La estadística se divide en dos grandes áreas:

• La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio.
• La estadística inferecial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones.   

POBLACION Y MUESTRA

Población estadística, en estadística, también llamada universo o colectivo, es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones.

Existen distintos tipos de poblaciones que son:

• Población base: es el grupo de personas designadas por las siguientes características: personales, geográficas o temporales, que son elegibles para participar en el estudio.
• Población muestreada: es la población base con criterios de viabilidad o posibilidad de realizarse el muestreo.
• Muestra estudiada: es el grupo de sujetos en el que se recogen los datos y se realizan las observaciones, siendo realmente un subgrupo de la población muestreada y accesible. El número de muestras que se puede obtener de una población es una o mayor de una.
• Población diana: es el grupo de personas a la que va proyectado dicho estudio, la clasificación característica de los mismos, lo cual lo hace modelo de estudio para el proyecto establecido.

TIPOS DE GRAFICAS

Entre los tipos de gráficas, utilizadas en el área estadística se encuentra la tabla de frecuencias, la cual es una tabla en la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los datos y muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.
 El siguiente es un ejemplo de una tabla de frecuencias:

En una clase de matemáticas, las notas finales son estas:

Notas	Frecuencia	Frecuencia acumulada
0 – 5 Suspenso	25	25
5 – 7 Aprobado	35	60
7 – 8 Notable	20	80
9 – 10 Sobresaliente	20	100

• GRÁFICO CIRCULAR

Los gráficos circulares denominados también gráficos de pastel o gráficas del 360 %, se utilizan para mostrar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular, pueden ser más de 5, ordenando los segmentos de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12 como en un reloj.
Ejemplo: Gráfica circular de la población de hablantes del idioma inglés.

• GRÁFICO DE BARRAS

Un gráfico de barras, también conocido como gráfico de columnas, es un diagrama con barras rectangulares de longitudes proporcional al de los valores que representan. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden estar orientadas horizontal o verticalmente.

Ejemplo: 

MEDIA, MEDIANA Y MODA

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoriarecibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos.

En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. 

EJERCICIOS

1. La media aritmetica de cinco números es 34. Si tres de los números son 28, 30 y 32, ¿cuál es la suma de los otros dos?

a. 50

b.70

c. 60

d.80

RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 Y 3 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE GRAFICA

xi	fi	Fi
2	2	2
3	2	4
4	5	9
5	6	15
6	2	17
8	3	20
	20

  2. ¿Cuál es la moda?

a. 4 

b. 5

c. 8

d. 6

3. ¿Cuál de los siguientes números es la mediana?

a. 5

b. 8

c. 6

d. 2

RESPONDA LAS PREGUNTAS 4, 5 Y 6 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE TABLA DE FRECUENCIAS

xi	fi	Ni	xi · fi	x²i · fi
9	1	1	9	81
10	4	5	40	400
11	9	14	99	1089
12	16	30	192	2304
13	11	41	143	1859
14	8	49	112	1568
15	1	50	15	225
	50		610	7526

4. La moda es:

a. 10

b. 11

c. 12

d. 13

5. De los siguientes números, ¿cuál es la media aritmética?

a. 50

b. 12,2

c. 13,2

d.610

6. De las siguientes opciones, selecciona la opción que represente a la mediana:
a. 12
b. 9
c. 10
d. 13

PROBABILIDAD

NOCIONES GENERALES


La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los resultados posibles de los fenómenos aleatorios. 


La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado o conjunto de resultados al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.


¿Qué es el azar? El diccionario de la Real Academia Española de la lengua lo define como una casualidad, un caso fortuito, y afirma que la expresión "al azar" significa "sin orden". La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.

Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1. es simétrica al eje y;
2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error  igual a 0;
3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

En 1930 Andréi Kolmogorov desarrolló la base axiomática de la probabilidad utilizando teoría de la medida.

TIPO DE PROBABILIDAD

Tipos de probabilidad:

Existen dos tipos de probabilidad: la probabilidad clásica, también llamada teórica o matemática, y la probabilidad frecuencial o empírica. 

La probabilidad clásica o teórica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. 

Fórmula para obtener la probabilidad clásica o teórica: 

Probabilidad de un evento = Numero de resultados favorables al evento/Numero total de resultados posibles. En símbolos: P(E) = n(E)/n(S).

La probabilidad frecuencial se obtiene cuando se experimenta un gran número de veces el mismo fenómeno en condiciones semejantes. 

Fórmula de la probabilidad frecuencial o empírica:
Probabilidad Frecuencial = Numero de aciertos / numero de experimentos. Empleando símbolos: P(E) = f /n.


1. Probabilidad clásica.

2. Probabilidad distribución de frecuencias.

3. Probabilidad subjetiva.

La distribución de probabilidades esta muy relacionado con el tipo de variables. Nosotros conocemos dos tipos de variables:

1. Variable discreta.

2. Variable continúa.

EJEMPLOS DE PROBABILIDAD

 




JUEGOS DE PROBABILIDAD





EJERCICIOS

A continuación se muestra la cantidad de peces  para acuario que tiene  tres tiendas  de peces para acuario que tiene tres tiendas de mascotas distintas  para la venta  según  su especie.

Especie de pez	Tienda 1	Tienda 2	Tienda 3
Pardo	500	100	50
Gato	135	145	210
Corydora	25	70	200
Barbus	100	150	50
Dardos de fuego	300	400	150
Besadores	150	150	150
Molly	35	85	125

7. Cuál de las especies es la que tiene menor oferta?

a) Barbus

b) Dardos de fuego

c) Gato

d) Molly

8. En un grupo de personas, 4 tienen 17  años, 5 tienen 18 años, 6tienen 20 años, 4 tienen 22 años y  3 tienen 24 años. Cuál  es la mediana?

a) 17

b) 18

c) 20

d) 24

Responda  las preguntas  9 y 10 de acuerdo con  la siguiente información

A continuación se  muestra una tabla en  la que se muestra la cantidad de hermanos que tiene cada uno de los estudiantes de determinado curso de un colegio.

1	2	2	3	4	5	2
0	3	2	1	0	0	0
0	0	0	5	2	4	1
2	1	1	1	2	1	2
1	1	1	1	2	1	3

9.  Cuantos estudiantes tienen 0 hermanos?

a) 1

b) 7

c) 5             

d) 3

10. Cuál  es el dato que más se repite?

a) 0

b) 3

c) 5

d) 1

11. En un concurso  mundial de matemáticas participan 5 concursantes americanos, 7 europeos, 3 asiáticos, 2 africanos  y 1 australiano. Cuál  es la probabilidad de  que el ganador del concurso mundial de matemáticas sea europeo?

a) 1/18

b) 3/18

c) 7/18

d) 6/18

Responda las preguntas del 12-15 de acuerdo con la siguiente información.

A los estudiantes de un colegio se les realizo una encuesta acerca de que prefieren usar para escribir en una tarea y en el colegio. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Tipo Trabajo/Utensilio	Trabajo En Colegio	Trabajo En Casa	Total
Lápiz	50	30	80
Plumero	40	20	60
Marcador	20	15	35
Total	110	65	175

12. Cuál es la probabilidad de que el estudiante para un trabajo en casa use un lápiz?

a) 46.2%

b) 42.7%

c) 75.4%

d) 50%

13. Cuál es la probabilidad de que el estudiante use un plumero?

a) 56.5%

b) 77%

c) 10%

d) 34.3%

14. Cuál es la probabilidad de que en un trabajo de colegio use marcador?

a) 33.3%

b) 79.4%

c) 20%

d) 42.3%

15. Cuál es la probabilidad de que use marcador en un trabajo de colegio?

a) 32.3%

b) 31.8%

c) 37.5%

d) 47%

Responda las preguntas 16-21 con respecto a lo siguiente.

En un estado de Norte América, se realizo una encuesta acerca de cuál deporte prefieren ver entre los niños y los adultos. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Deporte/Genero	Adultos	Niños	Total
Futbol Americano	3.000	7.000	10.000
Beisbol	1.500	2.500	4.000
Basquetbol	2.200	4.000	6.200
Total	6.700	11.500	20.200

16. Cuál es  la probabilidad de que sea niño?

a) 45.9%

b) 37.5%

c) 56.9%

d) 77%

17. Cuál es la probabilidad de que el deporte favorito sea futbol americano?

a) 80%

b) 58.8%

c) 23.6%

d) 49.5%

18. Cuál es la probabilidad de que sea adulto y vea beisbol?

a) 22.4%

b) 23.9%

c) 50.6%

d) 78.7%

19. Cuál es la probabilidad de que vea beisbol y sea adulto?

a) 45.5%

b) 67.7%

c) 59.7%

d) 88%

20. Cuál es la probabilidad de que el deporte favorito sea beisbol?

a) 19.8%

b) 23.9%

c) 10%
d) 87.7%

21. Cuál es la probabilidad de que sea niño, dado que es futbol americano?

a) 86.3%

b) 90%

c) 46.7%

d) 80.9%

Si se tiene una baraja de naipes que contiene 52 cartas, responder:

22. Cual es la probabilidad de sacar un as?
a. Aproximadamente 8%
b. 25%
c.Aproximadamente 10%
d. 52%

23. Cual es la probabilidad de sacar un trebol?
a. 50%
b. 75%
c. 10%
d. 25%

24. Cual es la probabilidad de sacar una J?
a. 8%
b. 18%
c. 28%
d. 52%

25. Cual es la probabilidad de sacar un corazón o un diamante?
a. 20%
b. 50%
c. 30%
d. 10%

26. Tengo un mazo de la baraja francesa, completo, de 52 cartas. Las mezclo cuidadosamente y saco 11 cartas al azar. ¿Qué probabilidad tengo de que salga un comodín? ¿Y, si saco 17? ¿Y, si saco 26?
a. 0%
b. 5%
c. 25%
d. 75%

27. Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana. ¿Quién lleva más ventaja?
a. El primero
b. El segundo
c. El tercero
d. Todos por igual

28. Durante un viaje 5 camaradas jugaron una partida diaria. Suponiendo que era un juego puramente de azar o, lo que es lo mismo, que los 5 jugadores eran igualmente hábiles, ¿cuál es la probabilidad de que Juan no ganase ninguna partida?
a. 50%
b. 80%
c. 100%
d. 30%


29.  Una baraja francesa de 52 cartas es mezclada concienzudamente, cortada y vuelta a apilar. Se extrae la carta superior del mazo, y se observa su color. La carta se devuelve a su lugar, el mazo de naipes vuelve a ser cortado, y vuelve a observarse el color de la carta situado en lo alto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos naipes sean del mismo color?
a. 50%
b. 49%
c. 25%
d.99%

30.  Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración)
a. Dos de cuatro
b. Tres de seis
c. Ambas
d. Ninguna

31. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

a. 45%

b. 15%

c. 25%

d. 35%

RESPONDER LAS PREGUNTAS 32 Y 33 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION:

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas.

32. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

a. 19%

b. 29%

c. 39%

d. 49%

33. La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

a. 23%

b. 63%

c. 43%

d. 53%

RESPONDA LAS PREGUNTAS 34, 35 Y 36 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACION:

Al aire se lanzan dos monedas

34. La probabilidad de que caigan dos caras es:

a. 50%

b. 10%

c. 75%

d. 25%

35. La probabilidad de que caigan dos cruces es:

a. 75%

b. 50%

c. 25%

d. 35%

36. La probabilidad de que caigan dos caras y una cruz es:

a. 50%

b. 75%

c. 15%

d. 30%


En un Colegio Se organiza un horario de acuerdo a los siguientes criterios:
- Las clases son de lunes a viernes
- En cada curso se dictan cinco horas diarias de clases
- En los grados cuarto, quinto y sexto se deben dictar 4 horas semanales de matematicas

37 El horario de cuarto grado se empieza a elaborar ubicando las cuatro horas semanales de matematicas. Para evitar los lunes festivos se establece que las matematicas se dicten de martes a viernes una hora diaria. El numero de posibilidades distintas que hay para establecer dentro del horario las horas de matematicas es:
A) 5 x 5 x 5 x 5
B) 5 x 4 x 3 x 2
C) 4 x 4 x 4 x 4
D) 4 x 3 x 2 x 1

Las placas en Colombia tienen tres letras y tres dígitos. Para la fabricación de las placas se utilizan 27 letras y 10 dígitos. La empresa que fabrica las placas ha comprobado que de una producción de 100 placas fabricadas, aproximadamente 5 tienen algún defecto.


38. El número total de placas distintas que se pueden fabricar cuya parte inicial sea: AMA 4-- es:
a) 20
b) 90
c) 100
d) 270


39 La primera letra de la placa de los carros matriculados en Bogotá es A o B. El número total de placas que pueden fabricarse para identificar carros particulares matriculados en Bogotá es:
a) 27^2 x 10^3
b) 27^3 x 10^2
c) 2 x 27^2 x 10^2
d) 2 x 27^2 x 10^3


40 Antes de 1900 las placas que se fabricaban tenían dos letras y cuatro dígitos. La razón entre el número total de placas que pueden fabricarse en la actualidad y el número total de placas que podría fabricarse antes de 1900 es:
a) 8/9
b) 9/8
c) 10/27
d) 27/10

41. Para obtener 190 placas no defectuosas el número mínimo de placas que se deben fabricar es:
a) 195
b) 200
c) 209
d) 290

42.   Se decide iniciar la elaboración del horario de quinto grado ubicando las clases de educación física las cuales se deben dictar en bloques de 2 horas seguidas. El número de posibilidades distintas que tiene la profesora de quinto para establecer el horario de educación física es

 

A.  5

B.  10

C.  15

D.  20

43.    Para elaborar el horario de cuarto grado se planea ubicar inicialmente las horas de ciencias naturales. Las 3 horas deben distribuirse en un bloque de 2 horas seguidas y la otra en un día distinto. El número de horarios diferentes que pueden elaborar para esta asignatura es

A.  75

B.  150

C.  320

D.  400

En un concurso mundial de Matemática participan 5 concursantes  Americanos, 6 Europeos, 2 Asiáticos y 1 Australiano.

44.    Cuál es  la probabilidad de que el ganador sea Europeo?

a.  3/14

b. 6/14

c. 2/14

d. 3/7

45.    Cuál es la probabilidad de que  el ganador no sea Asiático?

a. 12/14

b. 13/14

c. 1/14

d. 2/14

46.    En  este mismo concurso se tiene que armar diferentes grupos. De cuantas diferentes maneras se pueden armar estos grupos?

a. 30  

b. 40

c. 60

d. 70